Билет №1 Лин пр-ва над произв полем. Ранг и база сис вект



Скачать 32.99 Kb.
страница1/10
Дата30.07.2018
Размер32.99 Kb.
ТипЗакон
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Билет №1 Лин. пр-ва над произв. полем. Ранг и база сис. вект

Пусть дано поле P. Непустое множество V называется линейным или векторным пространством над полем P, если на этом множестве определены внутренний закон композиции VxV => V, называемый сложением, и внешний закон композиции PxV => V, называемый умножением на число из поля P, удовлетворяющие аксиомам:
для любых a,b,c из V и α,β из P
1) a + b = b + a;
2) (a+b)+c = a+(b+c)
3) существует такой элемент 0 из V, что a + 0 = 0 + a = a
4) Для любого элемента из V существует обратный: a + (-a) = (-a) + a = 0
5) 1*a = a
6) α(βa) = (αβ)a
7) (α + β)a = αa + βa
8) α(a+b) = αa + αb
Лин. пространство над полем R называется вещественным, над полем C – комплексным.
Два вектора линейного пространства называются коллинеарными, если они отличаются только числовым множителем: x = αy
Примеры:
1. Pn – линейное пространство арифметических векторов x = {x1,x2…xn}, все xk из P, сложение и умножение задается покоординатно.
2. Аналогично, арифметическое пространство Cn, CnR – умножение только на вещ. числа.
Аффинным пространством над линейным пространством V называется множество S элементов, называемых точками, для которых заданы
а) линейное пространство V над полем P
б) отображение v: S x S => V, ставящее каждой паре упорядоченных точек A,B из S вектор v(A,B) из V и удовлетворяющий аксиомам:
1)Для любой точки A из S и любого вектора a из V существует единственная точка B такая, что v(A,B) = a
2) для любых трех точек A,B,C из S имеет равенство v(A,B) + v (B,C) = v(A,C)
Обозначаются векторы так: AB (буду обозначать без стрелки)
Из аксиом следует: AB = 0 только тогда, когда A = B, AB = -BA
Размерностью аффинного пространства S называется размерность пространства V.
Примеры: 
1.геометрические пространства V1,V2,V3 – аффинные пространства над самими собой
2. любое линейное пространство V можно рассматривать как аффинное над самим собой – для этого нужно определить отображение v(a,b) = a – b
3. любое аффинное пространство можно рассматривать как линейное. Для этого, зафиксировать точку O и назвать началом. Тогда каждой точке A можно сопоставить вектор OA, называемый радиус-вектором точки А относительно начала О. Множество радиус – векторов всех точек S и есть линейное пространство V.

Теорема. Отображение ф: S => V, определяемое правилом ф(А) = ОА, является биекцией, сохраняющей операцию v аффинного пространства, т.е. v(A,B) = v(ф(А), ф(В))
Доказательство:
биективность вытекает непосредственно из аксиомы 1, а равенство получается из примера 2 и 3 (см ранее) – получается разность векторов: АВ = ОВ – ОА
Будем рассматривать конечные системы a1..ak векторов линейного пространства. Линейно независимая подсистема векторов, через которую линейно выражается любой вектор системы, называется базой этой системы векторов.
Примеры
1. В системе из нулевых векторов нет базы, любая её подсистема линейно зависима.
2. Базисные строки матрицы, согласно теореме о базисном миноре образуют базу системы строк, рассматриваемых как векторы арифметического пространства. Это же относится и к базисным столбцам.
3. В системе трех неколлинеарных векторов плоскости V2 любая пара векторов образует базу.
Теорема. Подсистема является базой тогда и только тогда, когда образует максимальную линейно независимую подсистему.
Доказательство:
Необходимость
Пусть в системе a1..ar…ak, подсистема a1…ar образует базу. Тогда любая большая система будет линейно зависима (любой вектор, добавленный в базу – линейно будет выражаться через остальные). Так что, это максимальная линейно независимая подсистема.
Достаточность
Если она максимального размера – при добавлении в неё любого другого вектора системы – она становится линейно зависимой - добавленный вектор линейно выражается через остальные вектора – таким образом, любой вектор системы линейно выражается через них.
Следствие. Все базы одной системы состоят из одного количества векторов, равного макс числу линейно независимых векторов.
Число векторов базы называется рангом системы векторов. Две системы эквивалентны, если любой вектор одной системы линейно выражается через вектора другой системы.
Теорема. Если система векторов a1..ak линейно выражается через b1..bm, то rg(a1..ak) <= rg(b1..bm).
Доказательство:
Раз все векторы одной системы выражаются через другую, то и база a1..ar линейно выражается через базу b1…bs – значит, r <= s.
Следствие. Ранги эквивалентных систем совпадают
Следствие. Эквивалентные линейно независимые системы состоят из одинакового числа векторов



Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница