скачать Переход к пределу в неравенстве

Теорема: Пусть f(х) и (х) имеют конечные пределы в т. y=a, тогда справедливо:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   

Доказательство:

1. 
   Пусть , тогда по общему свойству №6
   

,

а это противоречит 1

Замечание:

1. 
   Из утверждения №3 следует, что предел неотрицательной ф-ии является неотрицательным.
   
2. 
   При пределов к противоположным можно обе части умножать на (-1).
   

Теорема 2(о двух миллиционерах ) Пусть в некоторой области Д выполняется система неравенств и а – предел точки.

Пусть существуют равные пределы ,

тогда существует .

Доказательство:

Первый замечательный предел

Доказательство: докажем для справедливость неравенства

В силу четности входящих в неравенство ф-ий, докажем это неравенство на промежутке

Из рисунка видно, что площадь кругового сектора

, так как х>0, то ,

2. следовательно, что

3. 
   Покажем, что
   

4. 
   Докажем, что
   

5. 
   Последнее утверждение:
   

Второй замечательный предел

Понятие касательной к прямой.
Прямая, проходящая через две точки кривой – секущая.

Предельное положение секущей, которое она занимает при стремлении т. М к т. М₀ называется касательной к кривой в т. М₀

Бесконечные пределы ф-ии.

Если в общем определении предела через окрестности положить в качестве А бесконечно удаленную точку, то получим определение бесконечного предела.

Так как различают три вида бесконечно удаленных точек, то существуют три определения:

1.
2.
3.

Понятие непрерывности ф-ии.

Непрерывность – такое свойство ф-ии, как отсутствие точек разрыва у графиков этой ф-ии. Т.е. строится единственной непрерывной линией.

График непрерывной ф-ии ; График ф-ии, разрывной в т. С;

1.Ф-ия называется непрерывной в точке х₀ , если предел в данной точке совпадает со значением ф-ии в этой же точке

2.

3. Разность -приращение аргумента в точке х₀

4. Разность - приращение ф-ии в точке х₀ вызывает приращение аргумента

5. Ф-ия называется непрерывной в точке х₀ , если бесконечно малому аргументу соответствует бесконечно малое значение ф-ии в точке х₀ .

Общие свойства ф-ии, непрерывной в точке.

Представим ф-ию с помощью бесконечно малых

1.

2.Пусть ф-ия непрерывна в точке х₀ и ее значение в этой точке отлично от нуля, то существует целая окрестность х₀ , в которой ф-ия не равна нулю и сохраняет знак f(x₀)



sign(х)(сигнум)
Доказательство:

а)

б)

Из а) и б) следует:

скачать