скачать § 6. КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ВЕЛИЧИН

54. Сравнение бесконечно малых. Предположим, что в каком-либо исследовании одновременно рассматривается ряд бесконечно малых величин

которые, вообще говоря, будут функциями от одной и той же переменной, скажем стремящейся к конечному или бесконечному пределу

Во многих случаях представляет интерес сравнение названных бесконечно малых между собой по характеру их приближения к нулю. В основу сравнения двух бесконечно малых икладется поведение их отношения¹. На этот счет установим два соглашения:

Если отношение имеет конечный и отличный от нуля предел, то бесконечно малые и считаются величинами одного порядка.

Если же отношениесамо оказывается бесконечно малым (а отношение — бесконечно большим), то бесконечно малая считается величиной высшего порядка, чем бесконечно малая и одновременно бесконечно малаябудет низшего порядка, чем бесконечно малая.

Например, если по сравнению с этой бесконечно малой одного порядка с нею будут бесконечно малые

ибо, как мы знаем
Наоборот, бесконечно малые
будут, очевидно, высшего порядка, чем

Конечно, может случиться, что отношение двух бесконечно малых не стремится ни к какому пределу, не будучи и бесконечно большим; например, если взять

то их отношение, равное , припредела не имеет. В таком случае говорят, что две бесконечно малые несравнимы между собой.

Заметим, что если бесконечно малая оказывается высшего порядка, чем бесконечно малая то этот факт записывают так:
Например, можно писать:
Таким образом, символ служит общим обозначением для бесконечно малой высшего порядка, чем Этим удобным обозначением мы впредь будем пользоваться.

скачать