скачать Непустое множество G называется группой, если на G задана бинарная операция, которая замкнута (любой упорядоченной паре элементов из G соответствует определенный элемент из G) и удовлетворяет аксиомам:

1. 
   ассоциативность: ,
   
2. 
   существование единицы: ,
   
3. 
   существование обратного элемента: .
   

Если для выполняется аксиома коммутативности, то есть , то G называется абелевой (коммутативной) группой.

Изоморфные группы — группы, между которыми существует хотя бы один изоморфизм.
Изоморфизм групп — биективный гомоморфизм.
Отображение элементов группы G на элементы группы H называется гомоморфизмом, если .
Непустое множество H группы G, которое само является группой относительно операции, определенной в G, называется подгруппой G.
Пусть (H — подгруппа G), . Множество называется левым смежным классом группы G по подгруппе H, а — правый смежный класс.
Группа называется циклической, если она порождается одним элементом.
Говорят, что абелева группа G является прямой суммой своих подгрупп (), если для любого элемента существует и единственно представление через , где .
Порядок элемента — это такое наименьшее натуральное число n, что . Если такого n не существуют, то говорят, что элемент a имеет бесконечный порядок, или, другими словами, .
Коммутатором двух элементов a и b из группы G называется элемент .
Пусть G — произвольная группа, (некоторое подмножество, не обязательно группа). и соответственно нормализатор и централизатор множества S в G.
Пусть ; — простое число. Подгруппа порядка называется силовской -подгруппой группы G.
Пусть G — группа, H — ее нормальная подгруппа. Тогда на классах смежности H в G можно ввести умножение: . Такое умножение определяет структуру группы на множестве классов смежности, полученная группа называется факторгруппой G по H.
Коммутант группы G — подгруппа, порожденная всеми коммутаторами.
Множество элементов группы G называется стабилизатором элемента , если (действует тривиально).
Пусть и G действует на X. Множество называется орбитой элемента x.
H — нормальная подгруппа в G в том случае, если H — подгруппа группы G и .
Пусть E — евклидовая плоскость, P — связный компакт в евклидовой плоскости E с непустым множеством внутренних точек, G — подгруппа группы (группа движений 1-го рода) с условиями:

1) ,

2) если , то (здесь — множество внутренних точек компакта P).

Эти два условия и есть аксиомы групп замощений (групп Федорова).

Группа G называется разрешимой, если ряд обрывается через конечное число шагов на единичной подгруппе.
Группа G называется нильпотентной ступени s, если верен ряд .
Два элемента называются сопряженными, если существует такой элемент , что . Класс сопряженности элемента есть множество .

скачать